2025年江西专升本高等数学及其应用考试大纲

　　Ⅰ.考试内容与要求

　　本科目考试内容包括函数、极限、连续、一元函数微分学及其应用、一元函数积分学及其应用、多元函数微分学及其应用、二重积分及其应用、常微分方程等。主要考查考生对基本概念和基本理论的理解，运用基本理论和基本方法进行计算的能力，以及综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题的能力。对考试内容的要求由低到高，概念和理论的要求分为“了解”和“理解”两个层次;方法和运算的要求分为“掌握”和“熟练掌握”两个层次。具体内容与要求如下：

　　一、函数、极限和连续

　　(一)函数

　　1.理解函数的概念，掌握函数(含分段函数)的定义域、表达式及函数值的求法，掌握实际问题的函数关系式的建立;

　　2.理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性的概念;

　　3.了解反函数的概念;

　　4.掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程;5.熟练掌握基本初等函数的性质及其图像;

　　6.了解初等函数的概念。

　　(二)极限

　　1.了解数列极限的概念;

　　2.了解函数极限的概念，理解函数极限存在的充分必要条件;

　　3.熟练掌握极限的四则运算法则;

　　4.熟练掌握两个重要极限;

　　5.了解无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的性质，无穷小量与无穷大量的关系。理解高阶、低阶、同阶和等价无穷小量的概念，掌握等价无穷小代换求极限的方法;

　　6.了解曲线渐近线的概念，掌握曲线的水平渐近线和垂直渐近线的求法。

　　(三)连续

　　1.理解函数在一点连续与间断的概念，掌握函数(含分段函数)连续性的判断方法;

　　2.掌握求函数的间断点并判断其类型的方法;

　　3.了解闭区间上连续函数的最值定理、介值定理、零点定理;

　　4.理解初等函数的连续性，掌握用函数连续性求极限的方法。

　　二、一元函数微分学及其应用

　　(一)导数与微分

　　1.理解导数的概念、导数的几何意义、函数可导性与连续性之间的关系，掌握用导数定义判断函数在一点处的可导性的方法;

　　2.掌握曲线的切线方程与法线方程的求法;

　　3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则、复合函数的求导法则;

　　4.掌握隐函数和由参数方程所确定的函数的求导法，掌握对数求导法;

　　5.理解高阶导数的概念，掌握高阶导数的求法;

　　6.理解函数微分的概念，理解可微与可导的关系、微分的四则运算法则、一阶微分的形式不变性，掌握函数微分的求法。

　　(二)微分中值定理与导数的应用

　　1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理;

　　2.熟练掌握用洛必达法则求型未定式的极限;

　　3.掌握用导数判定函数单调性的方法，掌握函数的单调区间的求法;

　　4.了解函数极值的概念，掌握函数的极值和最值的求法，熟练掌握实际问题最值的求法;

　　5.掌握曲线凹向的判定方法，掌握曲线的凹凸区间和拐点的求法。

　　三、一元函数积分学及其应用

　　(一)不定积分

　　1.理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质;

　　2.熟练掌握基本积分公式;

　　3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握不定积分第二换元法;

　　4.熟练掌握不定积分的分部积分法

　　(二)定积分

　　1.了解定积分的概念，理解定积分的几何意义，了解函数可积的条件;

　　2.掌握定积分的基本性质;

　　3.理解变上限积分函数的概念，熟练掌握变上限函数的导数;

　　4.熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式;

　　5.熟练掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

　　(三)定积分的应用

　　1.熟练掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形面积的方法;

　　2.掌握求平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积的方法。

　　四、常微分方程

　　(一)一阶微分方程

　　1.了解微分方程的基本概念;

　　2.熟练掌握可分离变量微分方程的解法;

　　3.掌握齐次微分方程的解法;

　　4.掌握一阶线性微分方程的解法。

　　(二)二阶线性微分方程

　　1.了解二阶线性微分方程解的结构;

　　2.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

　　五、多元函数微分学及其应用

　　(一)多元函数微分学

　　1.了解多元函数的概念、二元函数的几何意义、二元函数的极限与连续的概念，掌握二元函数定义域的求法;

　　2.理解偏导数的概念，熟练掌握多元函数一、二阶偏导数的求法;

　　3.了解全微分的概念，理解全微分存在的必要条件与充分条件，掌握多元函数全微分的求法;

　　4.掌握多元复合函数的求导法则;

　　5.了解隐函数存在定理，掌握求由方程F(x,y,z)=0所确定隐函数z=z(x,y)的一阶偏导数的方法;

　　6.掌握求二元函数极值的方法。

　　(二)多元函数微分学的应用

　　1.掌握实际问题中的多元函数最值的求解方法;

　　2.掌握用拉格朗日乘数法求解实际问题最值的方法。

　　六、二重积分及其应用

　　1.了解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义;

　　2.熟练掌握直角坐标系和极坐标系下二重积分的计算方法，掌握交换二次积分的积分次序的方法。

　　Ⅱ.考试形式与题型

　　一、考试形式

　　考试采用闭卷、笔试形式，试卷满分150 分，考试时间120分钟。

　　二、考试题型

　　考试题型从以下类型中选择：单项选择题、填空题、计算题、解答题、应用题等。

　　Ⅲ.参考书目

　　1.“十三五”职业教育国家规划教材：凌巍炜，谢良金.高等数学(基础模块). 东北师范大学出版社，2020.ISBN：9787568134965.

　　2.“十三五”职业教育国家规划教材：侯风波. 高等数学(第五版). 高等教育出版社，2018. ISBN：9787040503852.

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